2021 一个普通数字
作者|伊妮(加州理工学院数学系教授)
资料来源：小虎队印刷
2020年的风风雨雨终于过去了，2021年来到了人间。根据作者参加中学数学竞赛的实践，我们应该时刻分析2021这个数的性质，以防止竞赛遇到含有这个数的题。像1997年国际数学奥林匹克，1997年出现在第四题。
IMO 1997的第四个问题，有兴趣的读者可以去做。
但是，相比2020，2021真的是一个普通的数字。
2020有很多有趣的拆分，比如是五个404的和。(有读者问：“404是什么意思？”嗯，大家应该经常看到404页吧？)
2020=1024 996，所以2020年10月24日具有特殊意义。
2021年，作者没有发现这样的分裂，那么应该用2021=1024 997吗？那就太绝望了！
素数和半素数
如果不能拆分，那就试试因式分解。我们知道，如果一个大于1的整数的因子只有1和它自己，那么这个数就叫做素数。2，3，5，7是最小的素数，1997也是素数。素数是数学分支中研究的基本对象，在数学中具有重要意义。如果2021是质数，数学上很有意思。但不幸的是，
所以不是质数。
在上面的乘法中，43和47都是素数。如果一个正整数是两个(可以是相同的)素数的乘积，那么这个正整数就叫做半素。所以2021是“半素数”。
数论中有很多与素数有关的问题。比如著名的哥德巴赫猜想，任何大于4的偶数都可以写成两个素数之和。如果两个素数相差只有2，那么它们被称为一对孪生素数。比如1997和1999是一对孪生素数。孪生素数猜想断言有无限对孪生素数。
张在孪生素数猜想上取得了重大突破。来源：北京大学新闻网
有时候数学家无法证明关于素数的猜想，于是退而求其次，看看能否证明关于半素数的相应结论。最著名的例子是陈景润关于哥德巴赫猜想的著作，通常写成“1 2”。它的数学意义是任何大于4的偶数都可以写成两个数之和，其中一个是素数，另一个是素数或半素数。公众不知道的是，陈景润在孪生素数猜想中也有类似的结果。他证明了素数有无穷多个，使得这个素数加2后成为素数或半素数。
著名数学家陈景润来源：新华网
半素的一个性质是，如果它被写成两个大于1的整数的乘积，这个乘法是唯一的，与阶数无关。(读者可以想一想，除了半素数，还有其他整数有这样的性质吗？1974年，人们使用阿雷西博射电望远镜向大力神M13球状星团发射了一条1679位的信息。破译阿雷西博信息的第一步是注意到1679是一个半素数，所以信息可以形成一个7323的矩形。
阿雷西博信息包括从1到10的数字、DNA、人类和太阳系信息，甚至阿雷西博望远镜本身的图像和直径。来源：维基百科
Ulam螺旋
2021年的两个质因数是43和47。如果你和作者一样是个业余数论爱好者，大概一眼就能认出他们。它们是由莱昂哈德欧拉发现的多项式生成的一系列素数中的两个。欧拉在1772年注意到对于二次多项式，
取n时
0, 1, 2, 3, ……, 39
，获得的值为
41, 43, 47, 53, ……, 1601,
都是质数。这个事实可以用下面的Ulam螺旋直观的表达出来。从41开始，在正方形纸上逆时针螺旋写自然数，然后标注所有素数。我们会发现很多质数从右上角到左下角连续排列在对角线上，包括41。
Ulam螺旋从41开始，其中素数用蓝色标注，素数的正方形用绿色标注。来源：推特账户费马图书馆
注：ulam是波兰犹太数学家，在纳粹入侵波兰前夕移居美国。他参与了曼哈顿计划研制原子弹，并在氢弹研制中发挥了关键作用。美国、英国等国的氢弹构型被命名为泰勒-乌拉姆构型。乌兰螺旋是他在一次会议上无聊而潦草地写在纸上时被发现的。
欧拉二次多项式不可能永远得到质数，但以下很多值仍然是质数或半质数：
P(44)是我们的2021年！
用计算机很容易计算出，直到n=420，我们才会得到既不是素数也不是半素数的第一个P(n):
从n=0到n=419总共420个P(n)中有281个素数和139个半素数。
1857年，俄罗斯数学家维克多布尼亚科夫斯基(Viktor Bunyakovsky)猜想有无穷多个正整数n，使得P(n)成为素数。(Bunyakovski其实是针对更一般的多项式做的这个猜想。)这个猜想还没有被证明。1978年，波兰数学家亨利克伊万尼克证明了正整数n有无穷多个，使得P(n)成为素数或半素数。(Ivannik对于一般二次多项式证明了这个结论。)
伊万尼克从首席执行官梁振英手中接过了2015年邵逸夫数学奖。来源：邵逸夫奖
RSA公钥密码系统
那么，数学家为什么要研究素数或者半素数呢？他们和我们的生活有什么关系？能吃吗？
答案是，它们真的和我们的生活息息相关。今天我们能开网银了，还要感谢质数和半质数，感谢巨人割韭菜，感谢网购，甚至感谢网上浏览。原因是两个数相乘很容易，但是把一个数分解成乘积很难。
我们可以看看2021年的例子。如果要算4347，小学三四年级的学生很容易就可以算出结果为2021。但是如果你不知道这些因素中的任何一个，那么要找出2021是哪两个数字的乘积就不那么容易了。
另一个著名的例子是分解
1903年，美国数学家弗兰克纳尔逊科尔(Frank Nelson Cole)在美国数学学会会议上做了一次无声演讲。他默默地走到讲台上，用粉笔在黑板上计算
然后他继续计算
结果还是和以前一样。他的无声演讲赢得了起立鼓掌。当被问及如何发现这种分解时，他说：“三年中所有的星期天。”
科尔来源：维基百科
事实上，计算
细心的人最多五分钟就能算出来，——，但科尔花了一百多天才找到这样的分解。(科尔的名字是用来命名美国数学学会数论和代数最高奖项的，张和分别获得了这两个科尔奖。)
今天，一台普通的电脑可以轻松分解2021或
但是如果数量比较大，还是很难分解。比如我们把两个300多位的素数相乘，就可以用普通电脑快速计算出结果。但是如果你只给出这个产品的结果，即使你在不知道任何因素的情况下使用超级计算机，也需要很多年才能分解出来。
密码学家利用大数分解的这一特性来设计公钥密码系统。密码经常出现在各种影视文学作品中，比如夏洛克福尔摩斯的侦探小说中跳舞的反派。在这个故事里，出现了一个关键，就是英文字母一一对应不同形态的跳舞小人。
在密码传输过程中，有两个步骤需要使用密钥。一种是发送方将正常信息加密成别人无法理解的信息，另一种是接收方将这种别人无法理解的信息解密成正常信息。早期人使用的密码都是对称密码，加密解密用的是同一个密钥。知道怎么加密，自然就知道怎么解密了。反过来也一样。知道怎么解密，自然就知道怎么加密了。
跳舞小人关键来源：扣网在一起
对称密码适合一对一通信，但在多对多通信的情况下非常不方便。比如张三，李四，王五用同一个密码互相交流，但有时候张三想单独和李四交流，内容不想让王五知道。这时候用之前的同一个密码就不合适了，新的密码只能换个炉子用。这只是三个人互相交流。如果全世界几十亿人互相交流会更麻烦。公钥密码就是为了解决这个问题而设计的。
在公钥密码学中，每个用户被分配两组密钥，一个加密密钥和一个解密密钥。加密密钥对所有人开放，解密密钥只有这个用户知道。张三要想给李四发送信息，只需要用李四的加密密钥对原始信息进行加密，并将加密后的信息发送给李四即可。那么只有李四可以用李四的解密密钥对加密信息进行解密。
数字签名也可以通过公钥密码实现。比如张三给李四发消息时，可以先用张三自己的解密密钥对原始信息进行处理，得到一号加密信息，再用李四的加密密钥对一号加密信息进行加密，得到二号加密信息。实际发送给李四的是二号加密报文。李四收到二号加密信息后，需要用自己的解密密钥对二号加密信息进行解密，得到一号加密信息，再用张三的加密密钥进行处理，得到原始信息。这样发的2号加密信息只能由张三发，只能由李四解读。于是我们得到了张三的“数字签名”，别人无法复制。
公钥密码的关键是很难从加密密钥中推导出解密密钥。1977年，罗纳德瑞文斯特、阿迪萨莫尔和伦纳德阿德曼三位密码学家提出了RSA公钥密码体制，并利用大数分解的困难性实现。具体来说，每个用户被分配两个大素数。这两个大素数的乘积(即一个“半素数”)向所有用户公开，但只有这个用户知道这两个素数是哪两个。解密密钥需要知道这两个素数，而加密密钥只需要使用它们的乘积。
1983年，沙米尔，瑞文斯特，阿德曼从左。资料来源：imps.mcmaster.ca
在RSA公钥密码体制中，只要使用的两个素数足够大，就可以保证密码安全。在互联网时代，公钥密码被广泛应用于网上银行、电子商务等场景。读者可能会注意到，在上网之前，浏览器中的地址大多以http://开头，但近年来，大多以https://开头。https协议使用公钥密码，比http协议更安全。然而，1994年，彼得肖尔提出了一种用量子计算机快速分解大数的肖尔算法。一旦建成实用的量子计算机，RSA公钥密码就不再安全。如何设计更安全的密码，如何破译已有的密码，一直是密码学家不懈研究的问题，数论在其中发挥着不可替代的作用。
当然，RSA使用的半素数是几百甚至几千位的大数字，小到2021的数字就不用了。我们这一年，2021，依然只是一个普通的数字。希望2021年能像这个数字一样平淡，不要像2020年那样惊心动魄。
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